Estimates of the number of magic squares, cubes, ... (hypercubes)
 Number of normal magic squares Estimates using magic series

N(m) is the number of magic squares of order m.
For orders m ≥ 18 we may assume N(m) > 3 · E(m) and N(m) < C~(m) · E(m). (See diagram on the C-factor page.)
Probably the correct value is nearer to the upper value.
For m ≤ 20 these estimates are less accurate than the approximations by Monte Carlo Backtracking.
For m > 100 the approximation formula of Henry Bottomley was used to determine the number of magic series.

 3 · E(m)   <   N(m)   <   C~(m) · E(m)
2.0 · 10566   <   N(18)   <   2.1 · 10566
7.6 · 10651   <   N(19)   <   8.4 · 10651
1.5 · 10744   <   N(20)   <   1.8 · 10744
2.1 · 10843   <   N(21)   <   2.6 · 10843
2.5 · 10949   <   N(22)   <   3.2 · 10949
2.9 · 101062   <   N(23)   <   3.9 · 101062
4.1 · 101182   <   N(24)   <   5.9 · 101182
8.7 · 101309   <   N(25)   <   1.3 · 101310
3.2 · 101444   <   N(26)   <   4.9 · 101444
2.4 · 101586   <   N(27)   <   3.8 · 101586
4.4 · 101735   <   N(28)   <   7.2 · 101735
2.2 · 101892   <   N(29)   <   3.8 · 101892
3.6 · 102056   <   N(30)   <   6.5 · 102056
2.2 · 102228   <   N(31)   <   4.2 · 102228
5.9 · 102407   <   N(32)   <   1.1 · 102408
7.6 · 102594   <   N(33)   <   1.5 · 102595
5.5 · 102789   <   N(34)   <   1.1 · 102790
2.5 · 102992   <   N(35)   <   5.2 · 102992
7.9 · 103202   <   N(36)   <   1.7 · 103203
2.0 · 103421   <   N(37)   <   4.5 · 103421
4.6 · 103647   <   N(38)   <   1.1 · 103648
1.0 · 103882   <   N(39)   <   2.5 · 103882
2.6 · 104124   <   N(40)   <   6.4 · 104124
8.2 · 104374   <   N(41)   <   2.0 · 104375
3.5 · 104633   <   N(42)   <   8.8 · 104633
2.2 · 104900   <   N(43)   <   5.8 · 104900
2.4 · 105175   <   N(44)   <   6.3 · 105175
4.6 · 105458   <   N(45)   <   1.2 · 105459
1.8 · 105750   <   N(46)   <   4.9 · 105750
1.5 · 106050   <   N(47)   <   4.3 · 106050
3.1 · 106358   <   N(48)   <   8.9 · 106358
1.6 · 106675   <   N(49)   <   4.8 · 106675
2.5 · 107000   <   N(50)   <   7.5 · 107000
1.2 · 107334   <   N(51)   <   3.5 · 107334
1.8 · 107676   <   N(52)   <   5.6 · 107676
1.0 · 108027   <   N(53)   <   3.2 · 108027
2.2 · 108386   <   N(54)   <   7.3 · 108386
2.1 · 108754   <   N(55)   <   7.0 · 108754
9.0 · 109130   <   N(56)   <   3.0 · 109131
1.9 · 109516   <   N(57)   <   6.5 · 109516
2.1 · 109910   <   N(58)   <   7.3 · 109910
1.3 · 1010313   <   N(59)   <   4.7 · 1010313
5.0 · 1010724   <   N(60)   <   1.8 · 1010725
1.2 · 1011145   <   N(61)   <   4.5 · 1011145
2.1 · 1011574   <   N(62)   <   8.0 · 1011574
2.7 · 1012012   <   N(63)   <   1.0 · 1012013
2.8 · 1012459   <   N(64)   <   1.1 · 1012460
2.4 · 1012915   <   N(65)   <   9.4 · 1012915
1.9 · 1013380   <   N(66)   <   7.5 · 1013380
1.4 · 1013854   <   N(67)   <   5.7 · 1013854
1.1 · 1014337   <   N(68)   <   4.4 · 1014337
8.8 · 1014828   <   N(69)   <   3.7 · 1014829
8.4 · 1015329   <   N(70)   <   3.6 · 1015330
9.7 · 1015839   <   N(71)   <   4.2 · 1015840
1.5 · 1016359   <   N(72)   <   6.4 · 1016359
3.0 · 1016887   <   N(73)   <   1.3 · 1016888
8.9 · 1017424   <   N(74)   <   4.0 · 1017425
4.1 · 1017971   <   N(75)   <   1.9 · 1017972
3.0 · 1018527   <   N(76)   <   1.4 · 1018528
3.7 · 1019092   <   N(77)   <   1.8 · 1019093
8.5 · 1019666   <   N(78)   <   4.0 · 1019667
3.6 · 1020250   <   N(79)   <   1.7 · 1020251
3.1 · 1020843   <   N(80)   <   1.5 · 1020844
5.5 · 1021445   <   N(81)   <   2.7 · 1021446
2.2 · 1022057   <   N(82)   <   1.1 · 1022058
2.0 · 1022678   <   N(83)   <   1.0 · 1022679
4.5 · 1023308   <   N(84)   <   2.3 · 1023309
2.6 · 1023948   <   N(85)   <   1.3 · 1023949
4.0 · 1024597   <   N(86)   <   2.1 · 1024598
1.7 · 1025256   <   N(87)   <   9.2 · 1025256
2.2 · 1025924   <   N(88)   <   1.2 · 1025925
8.8 · 1026601   <   N(89)   <   4.8 · 1026602
1.1 · 1027289   <   N(90)   <   6.2 · 1027289
4.9 · 1027985   <   N(91)   <   2.7 · 1027986
7.6 · 1028691   <   N(92)   <   4.3 · 1028692
4.3 · 1029407   <   N(93)   <   2.5 · 1029408
9.6 · 1030132   <   N(94)   <   5.5 · 1030133
8.6 · 1030867   <   N(95)   <   5.0 · 1030868
3.2 · 1031612   <   N(96)   <   1.9 · 1031613
5.3 · 1032366   <   N(97)   <   3.2 · 1032367
4.1 · 1033130   <   N(98)   <   2.4 · 1033131
1.5 · 1033904   <   N(99)   <   9.0 · 1033904

2.7 · 1034687   <   N(100)   <   1.6 · 1034688
1.6 · 1043057   <   N(110)   <   1.1 · 1043058
1.4 · 1052415   <   N(120)   <   1.0 · 1052416
3.7 · 1062776   <   N(130)   <   2.9 · 1062777
3.3 · 1074155   <   N(140)   <   2.8 · 1074156
1.0 · 1086565   <   N(150)   <   9.5 · 1086565
1.4 · 10100017   <   N(160)   <   1.4 · 10100018
1.7 · 10114523   <   N(170)   <   1.8 · 10114524
7.6 · 10130093   <   N(180)   <   8.4 · 10130094
1.3 · 10146739   <   N(190)   <   1.5 · 10146740
2.3 · 10164468   <   N(200)   <   2.9 · 10164469
4.3 · 10183290   <   N(210)   <   5.5 · 10183291
2.7 · 10203214   <   N(220)   <   3.7 · 10203215
8.1 · 10224247   <   N(230)   <   1.1 · 10224249
6.5 · 10246398   <   N(240)   <   9.7 · 10246399
3.9 · 10269674   <   N(250)   <   6.0 · 10269675
2.4 · 10294082   <   N(260)   <   3.8 · 10294083
1.0 · 10319629   <   N(270)   <   1.7 · 10319630
1.2 · 10346321   <   N(280)   <   2.0 · 10346322
8.5 · 10374164   <   N(290)   <   1.5 · 10374166
4.9 · 10403166   <   N(300)   <   9.1 · 10403167
1.9 · 10433332   <   N(310)   <   3.7 · 10433333
2.6 · 10464667   <   N(320)   <   5.2 · 10464668
4.4 · 10497177   <   N(330)   <   8.9 · 10497178
2.1 · 10530868   <   N(340)   <   4.3 · 10530869
4.5 · 10565744   <   N(350)   <   9.6 · 10565745
4.9 · 10601811   <   N(360)   <   1.1 · 10601813
2.3 · 10639074   <   N(370)   <   5.2 · 10639075
2.7 · 10677537   <   N(380)   <   6.3 · 10677538
3.5 · 10717205   <   N(390)   <   8.4 · 10717206
1.7 · 10758083   <   N(400)   <   4.3 · 10758084
8.4 · 10800174   <   N(410)   <   2.1 · 10800176
7.9 · 10843484   <   N(420)   <   2.1 · 10843486
2.3 · 10888017   <   N(430)   <   6.2 · 10888018
2.7 · 10933776   <   N(440)   <   7.3 · 10933777
1.2 · 10980766   <   N(450)   <   3.4 · 10980767
1.8 · 101028990   <   N(460)   <   5.1 · 101028991
5.9 · 101078452   <   N(470)   <   1.7 · 101078454
2.4 · 101129157   <   N(480)   <   7.0 · 101129158
5.4 · 101181107   <   N(490)   <   1.6 · 101181109
2.7 · 101234307   <   N(500)   <   8.3 · 101234308
1.0 · 101288760   <   N(510)   <   3.2 · 101288761
7.7 · 101344468   <   N(520)   <   2.5 · 101344470
2.9 · 101401437   <   N(530)   <   9.5 · 101401438
1.1 · 101459669   <   N(540)   <   3.8 · 101459670
8.3 · 101519166   <   N(550)   <   2.8 · 101519168
1.7 · 101579934   <   N(560)   <   6.0 · 101579935
1.5 · 101641974   <   N(570)   <   5.1 · 101641975
5.9 · 101705289   <   N(580)   <   2.1 · 101705291
1.2 · 101769884   <   N(590)   <   4.4 · 101769885
1.2 · 101835760   <   N(600)   <   4.5 · 101835761
5.1 · 101902920   <   N(610)   <   1.9 · 101902922
6.4 · 101971368   <   N(620)   <   2.5 · 101971370
1.7 · 102041107   <   N(630)   <   6.6 · 102041108
5.8 · 102112138   <   N(640)   <   2.3 · 102112140
1.4 · 102184466   <   N(650)   <   5.5 · 102184467
1.2 · 102258092   <   N(660)   <   4.7 · 102258093
1.5 · 102333019   <   N(670)   <   6.4 · 102333020
1.4 · 102409250   <   N(680)   <   5.7 · 102409251
3.0 · 102486787   <   N(690)   <   1.3 · 102486789
5.8 · 102565633   <   N(700)   <   2.5 · 102565635
3.1 · 102645791   <   N(710)   <   1.4 · 102645793
1.4 · 102727263   <   N(720)   <   6.0 · 102727264
1.3 · 102810051   <   N(730)   <   5.9 · 102810052
7.1 · 102894157   <   N(740)   <   3.2 · 102894159
5.0 · 102979585   <   N(750)   <   2.3 · 102979587
9.9 · 103066336   <   N(760)   <   4.6 · 103066338
1.1 · 103154414   <   N(770)   <   5.3 · 103154415
1.4 · 103243819   <   N(780)   <   6.5 · 103243820
3.1 · 103334554   <   N(790)   <   1.5 · 103334556
2.2 · 103426622   <   N(800)   <   1.1 · 103426624
7.3 · 103520024   <   N(810)   <   3.7 · 103520026
1.7 · 103614764   <   N(820)   <   8.7 · 103614765
3.8 · 103710842   <   N(830)   <   1.9 · 103710844
1.0 · 103808262   <   N(840)   <   5.3 · 103808263
4.1 · 103907024   <   N(850)   <   2.1 · 103907026
2.8 · 104007132   <   N(860)   <   1.5 · 104007134
3.4 · 104108587   <   N(870)   <   1.8 · 104108589
7.8 · 104211391   <   N(880)   <   4.3 · 104211393
3.3 · 104315547   <   N(890)   <   1.8 · 104315549
2.4 · 104421056   <   N(900)   <   1.3 · 104421058
2.5 · 104527920   <   N(910)   <   1.4 · 104527922
3.3 · 104636141   <   N(920)   <   1.9 · 104636143
4.3 · 104745721   <   N(930)   <   2.5 · 104745723
4.3 · 104856662   <   N(940)   <   2.5 · 104856664
2.3 · 104968966   <   N(950)   <   1.3 · 104968968
4.6 · 105082634   <   N(960)   <   2.7 · 105082636
2.3 · 105197669   <   N(970)   <   1.4 · 105197671
1.9 · 105314072   <   N(980)   <   1.1 · 105314074
1.4 · 105431845   <   N(990)   <   8.7 · 105431846

6.3 · 105550989   <   N(1000)   <   3.9 · 105550991
2.1 · 1024638617   <   N(2000)   <   2.6 · 1024638619
1.5 · 1058628222   <   N(3000)   <   2.8 · 1058628224
5.0 · 10108246294   <   N(4000)   <   1.2 · 10108246297
8.0 · 10174000072   <   N(5000)   <   2.5 · 10174000075
1.6 · 10256280634   <   N(6000)   <   5.9 · 10256280636
1.0 · 10355406571   <   N(7000)   <   4.4 · 10355406573
1.2 · 10471646800   <   N(8000)   <   6.0 · 10471646802
6.7 · 10605234025   <   N(9000)   <   3.7 · 10605234028
1.3 · 10756373366   <   N(10000)   <   7.8 · 10756373368

Walter Trump, Nürnberg, Germany, (c) 2005-02-08 (last modified: 2005-10-29)