Rubik-Profi - Kapitel 4

Permutationen der oberen Ebene

Die Ecksteine der oberen Ebene können auf 24 unterschiedliche Arten platziert werden (24 = 4! = 4x3x2x1). Für den ersten Stein gibt es 4 Möglichkeiten, für den zweiten bleiben noch 3 mögliche Plätze, für den dritten 2 und für den letzten Stein nur noch ein Platz. Auch für die Kantensteine gibt es 24 Permutationen.
Daraus sollten sich insgesamt 24x24 = 576 Möglichkeiten für die ganze obere Ebene ergeben. Diese Zahl muss jedoch halbiert werden, da eine Vertauschung von zwei Ecksteinen nur möglich ist, wenn gleichzeitig zwei Kantensteine vertauscht werden. (Die Anzahl der elementaren Permutationen muss gerade sein, weil bei jeder Drehung gleich viele Ecksteine und Kantensteine vertauscht werden.) Somit gibt es 288 Permutationen der oberen Ebene. Jeweils 4 Anordnungen können durch eine Drehung der oberen Ebene ineinander überführt werden, so dass man nur noch 72 Konstellationen unterscheiden muss.
Von diesen 72 Möglichkeiten können wiederum viele zu Vierer-Gruppen zusammengefasst werden, da sie sich durch Vertauschung der Farben ineinander überführen lassen. Zueinander symmetrische Anordnungen können mit symmetrischen Zügen geordnet werden. So müssen letztendlich nur noch 15 Fälle unterschieden werden. (Es wäre sogar eine Beschränkung auf 14 Fälle möglich, da die Permutationen 7 und 8 zueinander invers sind.)
Bei der Anordnung von vier Objekten (Ecksteine oder Kantensteine) in einem Kreis gibt es 6 Möglichkeiten (3!). Es können alle Objekte in der richtigen Reihenfolge liegen (A), es können zwei gegenüberliegende Objekte vertauscht sein (G) oder es können zwei benachbarte Objekte vertauscht sein (N). Im letztgenannten Fall gibt es vier unterschiedliche Möglichkeiten, da vier Nachbarpaare gebildet werden können.
Bei der Angabe des Permutationstyps bezieht sich der erste Buchstabe auf die Ecksteine und der zweite auf die Kantensteine. Eine weiter Unterscheidung ist notwendig, weil die Anordnung der Kanten gegenüber der Ecken um 180 Grad verdreht sein kann (b) oder nicht (a). Außerdem kann die Anordnung beim Typ N, wie oben erwähnt, auch durch die Auswahl des Nachbarpaares beeinflusst werden (1,2,3,4). Die Ziffer gibt die Anzahl der Vierteldrehungen an, um welche die Kantensteine gegenüber den Ecksteinen verdreht sind.

00 Typ: A A a